Question

若实数x、y满足x²+y²=4，则

xy

x+y-2

的取值范围

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,直线与圆

分析：令x=2cosθ，y=2sinθ，可得

xy

x+y-2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ-1

，令sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]且t≠1．可得

xy

x+y-2

=

t2-1

t-1

=t+1=f（t），即可得出．

解答： 解：令x=2cosθ，y=2sinθ，
∴

xy

x+y-2

=

4sinθcosθ

2sinθ+2cosθ-2

=

2sinθcosθ

sinθ+cosθ-1

，
令sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]且t≠1．
则t²=1+2sinθcosθ，
∴2sinθcosθ=t²-1．
∴

xy

x+y-2

=

t2-1

t-1

=t+1=f（t），
∴（t+1）∈[1-

2

，1+

2

]，且（t+1）≠2．
故答案为：[1-

2

，1+

2

]，且（t+1）≠2．

点评：本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．