Question

已知函数y=-x²+ax-

a

4

+

1

2

在区间[0，1]上的最大值是g（a）
（1）写出g（x）的函数表达式；
（2）求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设y=f（x），该函数为二次函数，对称轴为x=

a

2

，讨论对称轴和区间[0，1]的关系：

a

2

≤0，0＜

a

2

＜1，

a

2

≥1，根据二次函数的单调性及取得顶点情况求出每种情况下的f（x）的最大值g（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3 4 a- 1 2 a≥2

；
（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数g（a）在每段上的最小值从而得出g（a）的最小值．

解答： 解：（1）y=-x2+ax-

a

4

+

1

2

的对称轴为x=

a

2

，设y=f（x）；
∴①

a

2

≤0，即a≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，∴g（a）=f（0）=-

a

4

+

1

2

；
②0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，g（a）=f（

a

2

）=

a2-a+2

4

；
③

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴g（a）=f（1）=

3

4

a-

1

2

；
∴g（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2-a+2 4 0＜a＜2 3 4 a- 1 2 a≥2

；
（2）①a≤0时，-

a

4

+

1

2

在（-∞，0]上单调递减；
∴a=0时，-

a

4

+

1

2

取最小值

1

2

；
②0＜a＜2时，a=

1

2

时，

a2-a+2

4

取最小值

7

16

；
③a≥2时，

3

4

a-

1

2

在[2，+∞）上单调递增；
∴a=2时，

3

4

a-

1

2

取最小值1；
∴综上得，g（a）的最小值为

7

16

．

点评：考查二次函数的单调性，根据二次函数的单调性及取得顶点的情况求其最值，根据一次函数的单调性求最值，以及分段函数最小值的求法．