Question

造船厂年造船量最多20艘，造船x艘产值函数为R（x）=3700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数c（x）=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）（利润=产值-成本）；
（2）问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）根据利润=产值-成本，及边际函数Mf（x）定义得出利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）先对利润函数P（x）求导数，P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），利用导数研究它的单调性，从而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大．

解答： 解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N^*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N^*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0时，x=12，
∴当0＜x＜12时，
P′（x）＞0，当x＞12时，P′（x）＜0，
∴x=12时，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．

点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成．