Question

二次函数f（x）=x²+2ax+2a+1．
（1）若对任意x∈R，有f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，据二次函数性质有△≤0，解出即可；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，按对称轴x=-a与区间[0，1]的位置，分三种情况讨论即可；

解答： 解：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=4a²-8a≤0，
解得0≤a≤2，
∴a的范围是[0，2]；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，
讨论：
①当-a≤0，即a≥0时，
f（x）在区间[0，1]上单调递增；
②当0＜-a＜1，即-1＜a＜0时，
f（x）在区间[0，-a]上单调递减，在区间[-a，1]上单调递增；
③当-a≥1，即a≤-1时，
f（x）在区间[0，1]上单调递减．

点评：本题考查二次函数的性质及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，对于函数恒成立问题，往往转化为函数最值问题加以解决，属中档题．