Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n=

n+2

3

a_n．
（1）求a₂、a₃
（2）求{a_n}的通项公式
（3）若b_n=

1

2an

，求证：数列{b_n}的前2K项中，所有偶数的和小于

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，前n项和S_n=

n+2

3

a_n．取n=2时可得：a₁+a₂=

4

3

a2，解得a₂．取n=3时可得：a₁+a₂+a₃=

5

3

a3，解得a₃．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，化为

an

an-1

=

n+1

n-1

，利用“累乘求积”a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1，即可得出；
（3）b_n=

1

2an

=

1

n(n+1)

，当n=2时，b₂=

1

6

＜

1

3

．当n≥4时，b_n=b_2k=

1

2k(2k+1)

＜

1

4(k-1)k

=

1

4

(

1

k-1

-

1

k

)，即可得出．

解答： （1）解：∵a₁=1，前n项和S_n=

n+2

3

a_n．
∴取n=2时可得：a₁+a₂=

4

3

a2，
解得a₂=3．
取n=3时可得：a₁+a₂+a₃=

5

3

a3，解得a₃=6．
∴a₂=3，a₃=6．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，
化为

an

an-1

=

n+1

n-1

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1
=

n+1

n-1

•

n

n-2

•

n-1

n-3

•…•

4

2

×

3

1

×1
=

n(n+1)

2

．当n=1时也成立．
（3）证明：b_n=

1

2an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴b₂+b₄+…+b_2k=

1

2

-

1

3

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2k

-

1

2k+1

，
当n=2时，b₂=

1

6

＜

1

3

．
当n≥4时，b_n=b_2k=

1

2k(2k+1)

＜

1

4(k-1)k

=

1

4

(

1

k-1

-

1

k

)，
∴b₂+b₄+…+b_2k＜

1

6

+

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

k-1

-

1

k

)]=

1

6

+

1

4

(1-

1

k

)＜

1

6

+

1

4

×

1

2

＜

1

3

，
∴数列{b_n}的前2K项中，所有偶数的和小于

1

3

．

点评：本题考查了递推式的应用、“累乘求积”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．