Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是面对角线B₁D₁的中点．
（1）求证：AO∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）如图所示，连接AC，BD交于G点，连接OC₁，GC₁，由OC₁

∥

.

AG，可得OA∥GC₁，从而可证OA∥平面C₁BD．
（2）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC，结合A₁A⊥BD，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁AC，进而BD⊥A₁C，连接C₁O，可证得A₁C⊥C₁O，再利用线面垂直的判定定理即可得到A₁C⊥平面C₁BD；

解答： 证明：（1）如图所示，连接AC，BD交于G点，连接OC₁，GC₁，
∴在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，OC₁

∥

.

AG，四边形OC₁AG为平行四边形，
∴OA∥GC₁，
又GC₁?平面C₁BD，OA?平面C₁BD，∴OA∥平面C₁BD．…（2分）

（2）连接AC，交BD于O，则BD⊥AC．
又A₁A⊥BD，∴BD⊥平面A₁AC．
∵A₁C?平面A₁AC，BD⊥A₁C．
连接C₁O，在矩形A₁C₁CA中，设A₁C交C₁O于M．
由

A1A

AC

=

OC

CC1

，知∠ACA₁=∠CC₁O．
∴∠C₁OC+A₁CO=∠C₁OC+∠CC₁O=

π

2

，∴∠CMO=

π

2

，
∴A₁C⊥C₁O．
又CO∩BD=0，CO?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，
∴A₁C⊥平面C₁BD．…（7分）

点评：直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．