Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与圆 x²+y²=c²（c=

a2+b2

）交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x²=y²，即为c²-

b4

c2

=

b4

c2

，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．

解答： 解：联立双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1和圆x²+y²=c²，
解得，x²=c²-

b4

c2

，y²=

b4

c2

，
由于四边形ABCD是正方形，
则有x²=y²，即为c²-

b4

c2

=

b4

c2

，
即c⁴=2b⁴，即c²=

2

b²=

2

（c²-a²），
则e=

c

a

=

2 2 -1

=

2 +2

．
故答案为：

2 +2

．

点评：本题考查双曲线方程和性质，考查联立双曲线方程和圆的方程求解交点，考查离心率的求法，属于基础题．