Question

设a∈R，函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x为奇函数，在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=x-2，则f（x₀）=（　　）

• A、1
• B、-1
• C、1或-1
• D、-2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：由函数是奇函数求得a的值，代入原函数后求导，由导函数等于1求得点（x₀，f（x₀））的横坐标，进一步求得f（x₀）的值．

解答： 解：∵函数f（x）=x³+ax²+（a-2）x为奇函数，
f（-1）=（-1）³+a•（-1）²+（a-2）•（-1）=1，
-f（1）=-2a+1，
∴f（-1）=-f（1），即-2a+1=1，a=0．
∴f（x）=x³-2x，
f′(x0)=3x02-2，
∵函数在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=x-2，
∴3x02-2=1，解得x₀=±1．
当x₀=1时，f（x₀）=-1，
当x₀=-1时，f（x₀）=1．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率，是中档题．