Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，设出椭圆的方程，利用右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3，即可求解椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，中点为P，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式求出m的范围，通过中点坐标，以及|AM|=|AN|；求出m的值；判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为 

x2

a2

+y2=1，则右焦点F（

a2-1

，0）
由题设

| a2-1 +2 2 |

2

=3，
解得a²=3．
故所求椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由

y=x+m x2 3 +y2=1

得 4x²+6mx+3m²-3=0
由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，
解得：-2＜m＜2．
由韦达定理可知：xp=

xM+xN

2

=-

3m

4

，从而yp=xp+m=

m

4

．
∴kAp=

yp+1

xp

=

m 4 +1

- 3m 4

，又|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，则

m 4 +1

- 3m 4

=-1，
即m=2，因为：-2＜m＜2．
所以不存在实数m使|AM|=|AN|．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，存在性问题的解题策略，难度比较大，注意m的范围是易错点．