Question

1．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由题意和两角差的正弦公式化简已知的式子，联立平方关系、内角的范围求出sinA和cosA的值，由条件和三角形的面积公式列出方程求出c，由余弦定理求出a的值．

解答 解：由sin（A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$得，$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinA-cosA）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
则sinA-cosA=$\frac{1}{5}$，联立sin²A+cos²A=1，
解得$\left\{\begin{array}{l}{sinA=\frac{4}{5}}\\{cosA=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinA=-\frac{3}{5}}\\{cosA=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$（舍去），
又0＜A＜π，即sinA=$\frac{4}{5}$，
因为△ABC的面积S=24，b=10，
所以$\frac{1}{2}bcsinA=24$，解得c=6，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=100+36-$2×10×6×\frac{3}{5}$=64，
则a=8，
故选D．

点评 本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及两角差的正弦公式等应用，考查化简、计算能力．