Question

16．定义平面向量的一种运算：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞，给出下列命题：
①$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$；
②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=（$λ\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$；
③（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$）；
④若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂）；则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中所有不正确命题的序号是①④．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞，及其数量积运算性质即可判断出正误．

解答 解：对于①：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$，故①正确；
对于②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=λ|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞，而（$λ\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$=$|λ\overrightarrow{a}|$$|\overrightarrow{b}|$$cos＜λ\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，因此λ＜0时，λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=（$λ\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$不一定成立．
对于③：（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$），显然不正确；
对于④∵$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂）；$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x₁x₂+y₁y₂，$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$，$sin＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$，则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|x₁y₂-x₂y₁|．正确．
因此只有①④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了新定义$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞及其数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．