Question

如图,已知:E,F,G,H分别是正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱AB,BC,CC₁,C₁D₁的中点,证明:EF,HG,DC三线共点.

Answer 1

证明:连接C₁B,HE,GF,

如图所示.由题意知HC₁􀱀EB,

∴四边形HC₁BE是平行四边形,

∴HE∥C₁B.

又C₁G=GC,CF=BF,

故GF􀱀C₁B,

∴GF∥HE,且GF<HE,

∴HG与EF相交,设交点为K,则K∈HG.

又HG⊂平面D₁C₁CD,∴K∈平面D₁C₁CD.

∵K∈EF,EF⊂平面ABCD,∴K∈平面ABCD.

∵平面D₁C₁CD∩平面ABCD=DC,

∴K∈DC,∴EF,HG,DC三线共点.