Question

已知f（x）为定义在R上奇函数，当满足x≤y且xy≠0时有f（x+y）=3f（x）+4f（y）+3x²-5y²+2x+3y+1，求f（x）的表达式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质，以及抽象函数的表达式，利用赋值法即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）为定义在R上奇函数，
∴f（0）=0，
∵当满足x≤y且xy≠0时有f（x+y）=3f（x）+4f（y）+3x²-5y²+2x+3y+1，
∴令y=-x，若x≤y且，xy≠0，
则x≤-x，且x≠0，y≠0，此时x＜0，
则f（x-x）=3f（x）+4f（-x）+3x²-5（-x）²+2x+3（-x）+1=f（0）=0，
则3f（x）-4f（x）-2x²-x+1=0，
则f（x）=-2x²-x+1，
若x＞0，则-x＜0，
则f（-x）=-2x²+x+1，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-2x²+x+1=-f（x），
则f（x）=2x²-x-1，x＞0．
故函数f（x）=

2x2-x-1， x＞0 0， x=0 -2x2-x+1， x＜0

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，根据函数的奇偶性以及赋值法是解决本题的关键．