Question

15．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90°，DA=DC=$\sqrt{6}$．现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是（　　）

• A． $\frac{9}{2}π$
• B． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• C． $\frac{27}{2}π$
• D． 12π

Answer 1

分析 根据两平面的形状寻找外球球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得出球的体积．

解答 解：在图2中，取AC的中点E，连结DE，BE，
∵AD=CD，∴DE⊥AC，
∵平面ACD∩平面ABC=AC，平面ACD⊥平面ABC，
DE?平面ACD，
∴DE⊥平面ABC，
∵∠ABC=90°，
∴棱锥外接球的球心O在直线DE上，
∵AD=CD=$\sqrt{6}$，AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴BE=AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=2，
设OE=x，则OD=2-x，OB=$\sqrt{B{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，
∴2-x=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴外接球的半径r=2-x=$\frac{3}{2}$，
∴外接球的体积V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$=$\frac{4π}{3}$×（$\frac{3}{2}$）³=$\frac{9π}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了棱锥与外接球的位置关系，球的体积计算，属于中档题．