在平面直角坐标系xoy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$.以坐标原点O为极点.x轴的正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C2的极坐标方程为ρ2(1+sin2θ)=8．(1)求曲线C1和C2的普通方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ²（1+sin²θ）=8．
（1）求曲线C₁和C₂的普通方程；
（2）若曲线C₁和C₂交于两点A，B，求|AB|的值．

分析（1）曲线C₂的极坐标方程l转化为ρ²+ρ²sin²θ=8，由此能求出曲线C₂的直角坐标方程，曲线C₁的参数方程消去参数t，能求出曲线C₁的普通方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得3x²-12x+10=0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出|AB|的值．

解答解：（1）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ²（1+sin²θ）=8，
即ρ²+ρ²sin²θ=8，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+2y²=8．
∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C₁消去参数t，得曲线C₁的普通方程为y=x-3．
（2）若曲线C₁和C₂交于两点A，B，则设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y，得x²+2（x-3）²=8，
整理，得3x²-12x+10=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

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