Question

10．设函数f（x）=|2x+2|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）＞7 的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；
（2）求出f（x）的最小值f_min（x），令f_min（x）≤|3m-2|解出m的范围．

解答 解：（1）∵f（x）＞7，即|2x+2|+|2x-3|＞7．
当x≤-1时，不等式为：-2x-2-2x+3＞7，解得x＜-$\frac{3}{2}$；
当-1$＜x＜\frac{3}{2}$时，不等式为：2x+2-2x+3＞7，无解；
当x≥$\frac{3}{2}$时，不等式为：2x+2+2x-3＞7，解得x＞2；
综上，不等式f（x）＞7的解集是{x|x$＜-\frac{3}{2}$或x＞2}．
（2）∵f（x）=|2x+2|+|2x-3|≥|2x+2-2x+3|=5，
当且仅当（2x+2）（2x-3）≤0即-1≤x$≤\frac{3}{2}$时取等号，
∴f（x）的最小值为5，
∵关于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，
∴|3m-2|≥5，∴3m-2≥5或3m-2≤-5，
解得m≤-1或m≥$\frac{7}{3}$，
∴实数m的取值范围是（-∞，-1]∪[$\frac{7}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．