Question

20．定义在R上的函数f（x）满足：①f（-x）=-f（x）；②f（2x）=af（x）（a＞0）；③当2≤x≤4时，$f（x）=|sin\frac{π}{2}x|$，若分别以函数f（x）的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 1或2
• D． 2或3

Answer 1

分析 当1≤x≤2时，对应的点A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a}$）；当2≤x≤4时，对应的点A₂（3，1）；当4≤x≤8时，对应的点A₃（6，a），由三点共线，由斜率相等得a的值为1或2；
经检验，即可得a的取值

解答 解：当1≤x≤2时，2≤2x≤4，∴f（x）=$\frac{1}{a}f（2x）$=|$\frac{1}{a}sin（\frac{π}{2}•2x）$|=$\frac{1}{a}$|sinπx|，极值为f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{a}$，对应的点A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a}$）；
当2≤x≤4时，$f（x）=|sin\frac{π}{2}x|$，极值为f（3）=1，对应的点A₂（3，1）；
当4≤x≤8时，f（x）=a|f（$\frac{x}{2}$）|=a|sin$\frac{π}{4}x$|，极值为f（6）=a，对应的点A₃（6，a）；
…由此可得A_n（3•2^n-2，a^n-2）
∵分别以函数f（x）的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，∴A₁，A₂，A₃三点共线，由斜率相等得a的值为1或2；
经检验，当a=1时，直线方程为y=1，由函数f（x）满足f（-x）=-f（x），即为奇函数，故舍去；当a=2时，直线为y=$\frac{1}{3}x$，符合题意．
故选：B．

点评 本题考查了函数的图象、性质，考查了数形结合思想、转化思想，属于中档题．