Question

20．已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，则圆C的方程为（　　）

• A． x²+（y+1）²=18
• B． （x+1）²+y²=9
• C． （x+1）²+y²=18
• D． x²+（y+1）²=9

Answer 1

分析 根据题意，设圆C的圆心坐标以及半径，可得其标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，由题意圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a+2}=-1}\\{\frac{b+1}{2}=\frac{a-2}{2}+1}\end{array}\right.$，解可得a、b的值，可得圆心坐标，进而可得圆心C到直线3x+4y-11=0的距离d，结合题意可得r²=3²+3²=18，将圆心坐标、半径代入圆的标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，设圆C的圆心C（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称，
必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a+2}=-1}\\{\frac{b+1}{2}=\frac{a-2}{2}+1}\end{array}\right.$，解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
圆心C到直线3x+4y-11=0的距离d=$\frac{|3×0+4×（-1）-11|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3
又由直线3x+4y-11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，
则其半径r²=3²+3²=18，
故其标准方程为：x²+（y+1）²=18，
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，需要依据题意，设出圆C的圆心、半径，利用待定系数法求出圆的圆心坐标和半径，