Question

10．已知点A（0，-2），椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，O为坐标原点
（1）求E的方程
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，问：是否存在直线l，使以PQ为直径的圆经过点原点O，若存在，求出对应直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出F，由直线AF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2代入椭圆方程化简，由判别式大于0求得k的范围，若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，求出$∠POQ=\frac{π}{2}$，即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，得到k²=4，符合△＞0，进一步求出k值，则直线方程可求．

解答 解：（1）设F（c，0），由条件知，$\frac{2}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得c=$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，b²=a²-c²=1，
∴E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）当l⊥x轴时，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，化简得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
由△=16（4k²-3）＞0，得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，即k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16k}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{4{k}^{2}+1}$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}-2）（k{x}_{2}-2）=\frac{4-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$．
若存在以PQ为直径的圆经过点原点O，则$∠POQ=\frac{π}{2}$，
即$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{16-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}=0$，
∴k²=4，符合△＞0，
∴存在k=±2，符合题意，
此时l：y=2x-2或y=-2x-2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．