Question

15．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{3}$，左焦点F到直线l：x=9的距离为10，圆G：（x-1）²+y²=1，
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，EF为圆N：（x-1）²+y²=4的任一直径，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得圆M上任意一点N作圆G的切线，切点为T，都满足$\frac{|NF|}{|NT|}=\sqrt{2}$？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，即a=3c，9-（-c）=10，则c=1，a=3，b²=a²-c²=8，即可求得椭圆的方程；
（2）由向量数量积的坐标运算$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}={\overrightarrow{PN}^2}-1={（x-1）^2}+{y^2}-1={（x-1）^2}+（8-\frac{8}{9}{x^2}）-1={（\frac{1}{3}x-3）^2}-1$，由（1）可知，即可求得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围；
（3）设圆M（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），其中$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{8}=1$，由于$\frac{|NF|}{|NT|}=\sqrt{2}$，则x²+y²-6x-1=0，代入得2（m-3）x+2ny-m²-n²+r²-1=0对圆M上任意点N恒成立，即可求得m和n，求得圆M的方程．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，即a=3c，
由左焦点F（-c，0）到直线l：x=9的距离为10，即9-（-c）=10，则c=1，
a=3，b²=a²-c²=8，
椭圆的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$；…（3分）
（2）由$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}={\overrightarrow{PN}^2}-1={（x-1）^2}+{y^2}-1={（x-1）^2}+（8-\frac{8}{9}{x^2}）-1={（\frac{1}{3}x-3）^2}-1$，
∵-3≤x≤3，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}∈[3，15]$，
即$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的取值范围是[3，15]；…（8分）
（3）设圆M（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），其中$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{8}=1$，
则x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²．    …（10分）
由于$\frac{|NF|}{|NT|}=\sqrt{2}$，则（x+1）²+y²=2[（x-1）²+y²-1]，…（12分）
即x²+y²-6x-1=0，代入x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²，
得2（m-3）x+2ny-m²-n²+r²-1=0对圆M上任意点N恒成立．
只要使$\left\{\begin{array}{l}m-3=0\\ n=0\\{r^2}={m^2}+{n^2}+1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=0\\ r=\sqrt{10}\end{array}\right.$，
经检验满足$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{8}=1$，故存在符合条件的圆，它的方程是（x-3）²+y²=10． …（15分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，向量数量积的坐标运算，圆的性质，考查计算能力，属于中档题．