袋中有3个大小.质量相同的小球.每个小球上分别写有数字0.1.2.随机摸出一个将其上的数字记为a1.然后放回袋中.再次随机摸出一个.将其上的数字记为a2.依次下去.第n次随机摸出一个.将其上的数字记为an记ξn=a1a2-an.则(1)随机变量ξ2的期望是1,(2)当${ξ n}={2^{n-1}}$时的概率是$\frac{n}{{3}^{n}}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字0，1，2，随机摸出一个将其上的数字记为a₁，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为a₂，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为a_n记ξ_n=a₁a₂…a_n，则（1）随机变量ξ₂的期望是1；
（2）当${ξ_n}={2^{n-1}}$时的概率是$\frac{n}{{3}^{n}}$．

分析（1）P（ξ₂=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，P（ξ₂=2）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，P（ξ₂=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$，利用互为对立事件的概率计算公式可得P（ξ₂=0）．可以求得随机变量ξ₂的分布列及其数学期望．
②当${ξ_n}={2^{n-1}}$时，n次抽取中，其中一次为1，剩下的n-1抽取的都为2，即可得出P（${ξ_n}={2^{n-1}}$）．

解答解：（1）P（ξ₂=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ₂=2）=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ₂=4）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ₂=0）=1-$\frac{1}{9}-\frac{2}{9}-\frac{1}{9}$=$\frac{5}{9}$．
可以求得随机变量ξ₂的分布列如表所示：

ξ₂	0	1	2	4
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

∴Eξ₂=$0+1×\frac{1}{9}+2×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}$=1．
（2）当${ξ_n}={2^{n-1}}$时，n次抽取中，其中一次为1，剩下的n-1抽取的都为2，
∴P（${ξ_n}={2^{n-1}}$）=$n×\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
故答案为：1，$\frac{n}{3^n}$．

点评本题考查了互相对立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题．