Question

16．已知P为圆C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为原点，则$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$的最小值为$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 圆心C（2，2）到直线l的距离d=3$\sqrt{2}$，O到直线l的距离h=$\sqrt{2}$，当C、P、O、Q共线，且OQ⊥l时，$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$取最小值．

解答 解：P为圆C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为原点，
圆心C（2，2）到直线l的距离d=$\frac{|2+2+2|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
O到直线l的距离h=$\frac{|0+0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
如图，当C、P、O、Q共线，且OQ⊥l时，
|OQ|=$\sqrt{2}$，|OP|=3$\sqrt{2}-\sqrt{2}-1$=2$\sqrt{2}-1$，
此时$|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|$取最小值为|2$\sqrt{2}-1-\sqrt{2}$|=$\sqrt{2}-1$．
故答案为：$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查向量的模的最小值的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．