Question

5．定义方程f（x）=f'（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（$x∈（\frac{π}{2}，\;π）$）的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ从小到大排列是β、α、φ．

Answer 1

分析 根据题意，分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，比较大小即可得答案．

解答 解：对于函数g（x）=x，有g′（x）=1，
若g（x）=g′（x），即x=1，
g（x）=x的“新驻点”为α，
则有α=1，
对于h（x）=ln（x+1），有h′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
若h（x）=h′（x），即ln（x+1）=$\frac{1}{x+1}$，
h（x）=ln（x+1）的新驻点为β，
则有ln（β+1）=$\frac{1}{β+1}$，
分析可得：0＜β＜1，
对于φ（x）=cosx，有φ′（x）=-sinx，
若φ（x）=φ′（x），即cosx=-sinx，
则有tanx=-1，
φ（x）=cosx的新驻点为φ，
则有φ=$\frac{3π}{4}$，
综合可得：β＜α＜φ；
故答案为：β、α、φ．

点评 本题考查导数的计算，涉及方程根的大小的分析讨论，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．