题目内容
已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，且满足f（x+y）=f（x）f（y），f（2）=
，试求不等式f（x）f（3x-1）＜
．
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考点：函数的定义域及其求法
专题：函数的性质及应用
分析：根据f（x+y）=f（x）f（y）和f（2）=
，求出f（1）的值，可得f（3）=
，将不等式化为f（4x-1）＜f（3），根据函数的单调性列出具体的不等式．
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解答：
解：由题意得，f（x+y）=f（x）f（y），f（2）=
，
所以f（1+1）=f（1）f（1），解得f（1）=
，
则f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=
，
所以不等式f（x）f（3x-1）＜
化为f（4x-1）＜f（3），
又函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
所以4x-1＞3，解得x＞1，
故不等式的解集是（1，+∞）．
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所以f（1+1）=f（1）f（1），解得f（1）=
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则f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=
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所以不等式f（x）f（3x-1）＜
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又函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
所以4x-1＞3，解得x＞1，
故不等式的解集是（1，+∞）．
点评：本题考查了抽象函数的函数值，以及利用函数的单调性求解不等式问题，主要利用赋值法求出抽象函数的函数值．
练习册系列答案
相关题目
若函数f（x）=
是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
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| A、（-2，0） |
| B、[-2，0） |
| C、（-∞，1] |
| D、（-∞，0） |