Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（x≠0）．
（1）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）求函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值与最小值；
（3）试求函数y=

x

+

1

x+3

+1的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），根据f′（x）的符号即可判断函数f（x）的单调性；
（2）判断函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的单调性，根据单调性及比较端点值即可求得f（x）的最值；
（3）通过求y′判断函数y=

x

+

1

x+3

在其定义域上的单调性，根据单调性即可求出该函数的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
（2）根据（1）知函数f（x）在[

1

2

，1]单调递减，在（1，2]单调递增；
∴f（1）=2是f（x）在[

1

2

，2]上的最小值，f(

1

2

)=

5

2

，f（2）=

5

2

，∴最大值为

5

2

；
（3）y′=

(x+3) x+3 - x

( x+3 )3 x

；
∵

x+3

＞

x

，x+3＞1；
∴(x+3)

x+3

＞

x

，∴y′＞0；
∴函数y在[0，+∞）上单调递增，∴x=0时，函数y取最小值

3

3

+1．

点评：考查根据导数符号判断函数单调性的方法，最值的概念及根据单调性与端点值求函数最值的方法．