Question

已知函数f （t）=log₂（2-t）+

t-1

的定义域为D．
（Ⅰ） 求D；
（Ⅱ） 若函数g（x）=x²+2mx-m²在D上存在最小值2，求实数m的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用对数的真数大于0，开偶次方被开放数非负，列出不等式组即可求出函数的定义域D；
（Ⅱ）函数g（x）=x²+2mx-m²在D上存在最小值2，通过二次函数的对称轴，对m与对称轴的位置关系分类讨论，利用最值，即可求实数m的值．

解答： 解：（Ⅰ） 由题知

2-t＞0 t-1≥0

解得1≤t＜2，即D=[1，2）．…（3分）
（Ⅱ） g （x）=x²+2mx-m²=（x+m）²-2m²，此二次函数对称轴为x=-m．…（4分）
①若-m≥2，即m≤-2时，g （x）在[1，2）上单调递减，不存在最小值；
②若1＜-m＜2，即-2＜m＜-1时，g （x）在[1，-m）上单调递减，（-m，2]上递增，此时g(x)min=g(-m)=-2m2≠2，此时m值不存在；
③-m≤1即m≥-1时，g （x）在[1，2）上单调递增，
此时g(x)min=g(1)=1+2m-m2=2，解得m=1．   …（11分）
综上：m=1． …（12分）

点评：本题考查函数的定义域的求法，二次函数闭区间上的最值问题的应用，考查计算能力以及分类讨论思想的应用．