Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，结合BD⊥PD得出BD⊥平面PAD，故而PA⊥BD；
（2）根据V_P-BCD=V_D-BCP列方程解出h．

解答 （1）证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PD⊥BD，又AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴BD⊥PA．
（2）解：由（1）可知BC⊥BD，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×BC×BD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2，
∴V_P-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵PC=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，BC=1，
∴BC²+PB²=PC²，∴PB⊥BC，
∴S_△BCP=$\frac{1}{2}BC•PB$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴V_D-BCP=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×h$=$\frac{\sqrt{7}h}{6}$，
又V_P-BCD=V_D-BCP，∴$\frac{\sqrt{7}h}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．