Question

5．若数列{a_n}满足a₁=12，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n²a_n，则a₂₀₁₇=$\frac{12}{2017}$．

Answer 1

分析 通过a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n²a_n与当n≥2时a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-1）²a_n-1作差，进而可知na_n=（n-1）a_n-1=…=2a₂=a₁，代入计算即得结论．

解答 解：因为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n²a_n，
所以当n≥2时a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-1）²a_n-1，
两式相减得：na_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，即n（n-1）a_n=（n-1）²a_n-1，
所以na_n=（n-1）a_n-1=…=2a₂=a₁，
由a₁=12可知a_n=$\frac{{a}_{1}}{n}$=$\frac{12}{n}$，
所以a₂₀₁₇=$\frac{12}{2017}$，
故答案为：$\frac{12}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．