Question

2．若函数f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上存在零点，则实数a的取值范围为（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设2^x=t，则t²+at+a+1=0在（0，+∞）上有解，分离参数得-a=$\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$，利用不等式求出函数的最值即可得出a的范围．

解答 解：设2^x=t，t²+at+a+1=0在（0，+∞）上有解，
分离参数得：-a=$\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$=t+1+$\frac{2}{t+1}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，
当且仅当t+1=$\frac{2}{t+1}$即t=$\sqrt{2}$-1时取等号，
∴a≤2-2$\sqrt{2}$，
故答案为：（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了函数零点与函数最值的关系，函数最值的计算，属于中档题．