Question

18．若正四棱锥P-ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为$\frac{π}{4}$，则该正四棱锥的体积为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且$∠PAO=\frac{π}{4}$，进而AO=2，AB=$2\sqrt{2}$，由此能求出该正四棱锥的体积．

解答 解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，
∵正四棱锥P-ABCD的高为2，
侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为$\frac{π}{4}$，
∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，
∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且$∠PAO=\frac{π}{4}$，
∴AO=2，∴AB=$2\sqrt{2}$，
∴该正四棱锥的体积：
V=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×2×（2\sqrt{2}×2\sqrt{2}）$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查正四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．