Question

1．已知点P在抛物线y=x²上，点Q在圆（x-4）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=1上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1
• C． 2$\sqrt{3}$-1
• D． $\sqrt{10}$-1

Answer 1

分析 设P（t，t²），求出|PC|²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值，由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：∵点P在抛物线y=x²上，∴设P（t，t²），
∵圆（x-4）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=1的圆心C（4，-$\frac{1}{2}$），半径r=1，
∴|PC|²=（4-t）²+（$-\frac{1}{2}$-t²）²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，
令y=|PC|²=t⁴+2t²-8t+16+$\frac{1}{4}$，y′=4t³+4t-8=0，可得t³+t-2=0，解得t=1，当t＜1时，y′＜0，当t＞1，y′＞0，可知函数在t=1时取得最小值，|PC|²_min=$\frac{45}{4}$
|PQ|的最小值=$\frac{3\sqrt{5}}{2}-1$．
故选：A．

点评 本题考查的知识要点：两点间的距离公式的应用，函数的导数的应用，考查圆的方程和抛物线方程的应用，及相关的运算问题．