Question

已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD与BC平行，AD=2AB=2BC=2，△PAD是以P为直角顶点的等腰直角三角形，且二面角P-AD-C为直二面角．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求AD与平面PCD所成角大小．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，又PD⊥PA，由此能证明PD⊥平面PAB．
（2）延长DC与AB交于点M，由已知条件推导出∠ADN就为AD与平面PCD所成的角，由此能求出AD与平面PCD所成角．

解答： （1）证明：由AB⊥AD，且P-AD-C为直二面角，
所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AB⊥PD，而PD⊥PA，
因此PD与平面PAB内的两条相交直线垂直，
从而PD⊥平面PAB．
（2）解：延长DC与AB交于点M，
则由题意知，B，C分别为AM与DM的中点，
且平面PCD∩平面PAB=PM，
由（1）知PD⊥平面PAB，且PD?平面PDM，
所以平面PDM⊥平面PAB，过A作PM的垂线AN，则AN⊥平面PMD，
从而∠ADN就为AD与平面PCD所成的角，
由（1）知PAM为直角三角形，
从而由PA=

2

，AM=2得PM=

6

，
所以在直角三角形PAM中，AN=

2

3

3

，
于是在直角三角形AND中，tan∠ADN=

2 3 3

2

=

3

3

，所以∠ADN=30°，
即AD与平面PCD所成角为30°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．