题目内容
如图所示，PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．（Ⅰ）求证：
| AB |
| AC |
| PA |
| PC |
（Ⅱ）求AC的值．
考点：相似三角形的判定,相似三角形的性质
专题：综合题,立体几何
分析：（Ⅰ）PA为⊙O的切线，可得∠ACP=∠PAB，由∠P=∠P，可得△PAB∽△PCA，即可证明结论；
（Ⅱ）证明∠ACB=90°，可求AC的值．
（Ⅱ）证明∠ACB=90°，可求AC的值．
解答：
（Ⅰ）证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACP=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴
=
．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．
又∵PA=10，PB=5，
∴PC=20，BC=5…（7分）
由（Ⅰ）知，
=
=
，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC=
=6
…（10分）
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴
| AB |
| AC |
| PA |
| PC |
（Ⅱ）解：∵PA为⊙0的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．
又∵PA=10，PB=5，
∴PC=20，BC=5…（7分）
由（Ⅰ）知，
| AB |
| AC |
| PA |
| PC |
| 1 |
| 2 |
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC=
| BC2-AB2 |
| 5 |
点评：本题考查了切割线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，解题的关键是运用切割线定理列方程求解．
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