Question

如图，设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率e=

3

2

，且

AF

•

BF

=-1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若存在斜率不为零的直线l与椭圆相交于C、D两点，且使得△ACD的重心在y轴右侧，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．A（-a，0），B（a，0），F（c，0）．利用

AF

•

BF

=-1，可得c²-a²=-1，又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，联立解得即可．
（II）设直线l的方程为x=ty+m，与椭圆的方程联立可得（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，设C（x₁，y₁），
D（x₂，y₂），可得y1+y2=

-2mt

t2+4

．由于△ACD的重心在y轴右侧，可得

x1+x2-2

3

＞0，又直线l与椭圆相交，则△＞0，联立解得即可．

解答： 解：（I）设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
A（-a，0），B（a，0），F（c，0）．

AF

=（c+a，0），

BF

=（c-a，0）．
∵

AF

•

BF

=-1，∴c²-a²=-1，
又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
联立解得b²=1，a²=4，c²=3．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（II）设直线l的方程为x=ty+m，联立

x2+4y2=4 x=ty+m

，
化为（t²+4）y²+2mty+m²-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y1+y2=

-2mt

t2+4

．
∵△ACD的重心在y轴右侧，
∴

x1+x2-2

3

＞0，即x₁+x₂＞2，
∴t（y₁+y₂）+2m＞2，
∴

-2mt2

t2+4

+2m＞2，即4m＞t²+4．
∵直线l与椭圆相交，则△=4m²t²-4（m²-4）（t²+4）＞0，化为t²+4＞m²，
∴4m＞m²，解得0＜m＜4，
又t²≥0，∴4m＞t²+4≥4，解得m＞1，
∴m的取值范围是（1，4）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的数量积运算、不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．