Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-ax²-3x+1（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论y=f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，f′（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立，即f′（-1）≤0，f′（1）≤0，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）分类讨论．利用导数的正负，即可得出y=f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

3

x³-ax²-3x+1，
∴f′（x）=2x²-2ax-3
∵f（x）在区间（-1，1）上为减函数，
∴f′（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立，
∴f′（-1）≤0，f′（1）≤0，
∴2+2a-3≤0，2-2a-3≤0，
∴-

1

2

≤a≤

1

2

；
（Ⅱ）当a＜-

1

2

时，f′（-1）＜0，f′（1）＞0
∴在（-1，1）内有且只有一个极小值点      
当a＞

1

2

时，f′（-1）＞0，f′（1）＜0
∴在（-1，1）内有且只有一个极大值点      
当-

1

2

≤a≤

1

2

时，由（Ⅰ）可知在区间（-1，1）上为减函数
∴在区间（-1，1）内没有极值点．
综上可知，当a＜-

1

2

或a＞

1

2

时，函数在区间（-1，1）内的极值点个数为1；当-

1

2

≤a≤

1

2

时，在区间（-1，1）内的极值点个数为0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．