Question

（1）求曲线y=

sinx

x

在点M（π，0）处的切线方程．
（2）求函数f（x）=48x-x³在区间x∈[-3，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义能求出曲线y=

sinx

x

在点M（π，0）处的切线方程．
（2）由f'（x）=48-3x²=3（16-x²）（4-x）（4+x），令f'（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，列表讨论能求出
函数f（x）=48x-x³在区间x∈[-3，5]上的最大值与最小值．

解答： （1）解：∵y′=

x(cosx-sinx)

x2

…（2分）
∴y′|_x=π=-

1

π

，…（3分）
∴过点M的切线的斜率k=-

1

π

…（4分）
则由点斜式得切线方程为y=-

1

π

x+1…（6分）
（2）解：由f'（x）=48-3x²=3（16-x²）（4-x）（4+x）…（1分）
令f'（x）=0即3（4-x）（4+x）=0∴x₁=-4，x₂=4
又x∈[-3，5]，列表

x	-3	（-3，4）	4	（4，5）	5
f'（x）	+	0	-
f（x）	-117	↗	128	↘	-27

由上表得，当x∈[-3，5]时，
此函数的递增区间为（-3，4），减区间为（4，5），
当x=4时，此函数的极大值为128，
又f（-3）=-117，f（5）=-27，
∴f（x）的最大值为f（4）=128，
f（x）的最小值为f（-3）=-117．…（6分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．