Question

已知过抛物线y²=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（ 

3

2

，0），从而设所求直线方程为y=k（x-

3

2

）．再将所得方程与抛物线y²=6x消去y，得k²x²-（3k²+6）x+

9

4

k²=0，利用一元二次根与系数的关系，得x₁+x₂=

3k2+6

k2

，最后结合直线过抛物线y²=6x焦点截得弦长为12，得到x₁+x₂+3=12，所以

3k2+6

k2

=9，解之得k²=1，得到直线的倾斜角．

解答： 解：∵抛物线方程是y²=6x，
∴2p=6，可得

p

2

=

3

2

，焦点坐标为F（

3

2

，0）
设所求直线方程为y=k（x-

3

2

），
与抛物线y²=6x消去y，得k²x²-（3k²+6）x+

9

4

k²=0
设直线交抛物线与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得x₁+x₂=

3k2+6

k2

，
∵直线过抛物线y²=6x焦点，交抛物线得弦长为12，
∴x₁+x₂+3=12，可得x₁+x₂=9，
因此，

3k2+6

k2

=9，解之得k²=1，
∴k=tanα=±1，结合α∈[0，π），可得α=

π

4

或

3π

4

．
故答案为：

π

4

或

3π

4

．

点评：本题给出已知方程的抛物线焦点弦长为12，求这条弦所在直线的倾斜角，着重考查了直线倾斜角、抛物线的基本概念和直线与抛物线的位置关系等知识点，属于中档题．