Question

【题目】已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

， ．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．

（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．

（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合， ，集合， （Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】解：集合不具有性质．

集合具有性质，其相应的集合和是，

．

（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时， 时， ，所以当时， ．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

（III）解： ，证明如下：

（1）对于，根据定义， ， ，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见， 中元素的个数不多于中元素的个数，即，

（2）对于，根据定义， ， ，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见， 中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由（1）（2）可知， ．