Question

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=-3x²+6x+9，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由f′（x）=-3x²+6x+9=0，得x=-1或x=3（舍），由此利用已知条件能求出它在区间[-2，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜3，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，3）；
由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3，
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．
（2）由f′（x）=-3x²+6x+9=0，得x=-1或x=3（舍），
∵f（-2）=8+12-18+a=2+a，
f（-1）=1+3-9+a=a-5，
f（2）=-8+12+18+a=22+a，
∵f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，
∴22+a=20，解得a=-2．
∴它在该区间上的最小值为a-5=-7．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．