Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sin（x-

π

6

），sinx），函数f（x）=2

a

•

b

，g（x）=f（

πx

4

）．
（1）求f（x）在[

π

2

，π]上的最值，并求出相应的x的值；
（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；
（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：数形结合,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算，再利用三角函数公式化f（x）为含一个角的一种三角函数形式，利用三角函数的性质求最值
（2）由（1）得，g（x）=f（

πx

4

）=sin（

π

2

x-

π

3

）+

3

2

．注意到T=4，利用分组方法求和．
（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（

π

2

x-

π

3

）与y=-

3

2

两图象交点个数．利用数形结合的方法进行讨论．

解答： 解：（1）f（x）=2

a

•

b

=2sinxsin（x-

π

6

）+2sinxcosx=

3

sin²x+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
∵x∈[

π

2

，π]，∴

2π

3

≤2x-

π

3

≤

5π

3

，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，f（x）最小值为  

3

2

-1，f（x）最大值为 

3

．
（2）由（1）得，f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

．∴g（x）=f（

πx

4

）=sin（

π

2

x-

π

3

）+

3

2

．T=4，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=2

3

，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×2

3

+g（1）+g（2）
=1006

3

+

3 3

2

+

1

2

=

2015 3 +1

2

．
（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（

π

2

x-

π

3

）与y=-

3

2

两图象交点个数．
在同一直角坐标系内作出这两个数的图象．

当4k＜t＜

4

3

+4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（

π

2

x-

π

3

）与y=-

3

2

两图象无交点，g（x）无零点
当

4

3

+4k≤t＜2+4k或

10

3

+4k＜t≤4+4k时，y=sin（

π

2

x-

π

3

）与y=-

3

2

两图象1个交点，g（x）1个零点
当2+4k≤t≤

10

3

+4k时，y=sin（

π

2

x-

π

3

）与y=-

3

2

两图象2个交点，g（x）2个零点

点评：本题考查向量与三角，函数与方程的结合，融合了重要的知识点，公式和思想方法，难度不大．