Question

13．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosβ}\\{y=1+sinβ}\end{array}\right.$（β为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C₁和曲线C₂的极坐标方程；
（2）已知射线l₁：θ=α（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$），将射线l₁顺时针方向旋转$\frac{π}{6}$得到l₂：θ=α-$\frac{π}{6}$，且射线l₁与曲线C₁交于两点，射线l₂与曲线C₂交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的参数方程能求出曲线C₁的直角坐标方程，从而能求出曲线C₁的极坐标方程．由曲线C₂的参数方程能求出曲线C₂的直角坐标方程，从而能求出曲线C₂的极坐标方程．
（2）设点P的极坐标为P（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα，设点Q的坐标为Q（${ρ}_{2}，α-\frac{π}{6}$），即${ρ}_{2}=2sin（α-\frac{π}{6}）$，mh|OP|•|OQ|=ρ₁•ρ₂=2cos$α•2sin（α-\frac{π}{6}）$=2sin（2$α-\frac{π}{6}$）-1，能求出|OP|•|OQ|的最大值．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C₁的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，
即x²+y²-2x=0，
∴曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosβ}\\{y=1+sinβ}\end{array}\right.$（β为参数），
∴曲线C₂的普通方程x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（2）设点P的极坐标为P（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα，
设点Q的坐标为Q（${ρ}_{2}，α-\frac{π}{6}$），即${ρ}_{2}=2sin（α-\frac{π}{6}）$，
∴|OP|•|OQ|=ρ₁•ρ₂=2cos$α•2sin（α-\frac{π}{6}）$=4cosα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$α-\frac{1}{2}cosα$）
=2$\sqrt{3}$sinαcosα-2cos²α=$\sqrt{3}sin2α$-cos2α-1=2sin（2$α-\frac{π}{6}$）-1，
∵α∈（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$），∴$2α-\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），
当2$α-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$时，|OP|•|OQ|取最大值1．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段积的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．