Question

6．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知$AC=2AB=4，BC=2AD=2CD=2\sqrt{5}$，M是SD上任意一点，$\overrightarrow{SM}=m\overrightarrow{MD}$，且m＞0．
（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；
（2）试确定m的值，使三棱锥S-ABC体积为三棱锥S-MAC体积的3倍．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由已知可得AB²+AC²=BC²，得到AB⊥AC，再由面面垂直的性质可得AC⊥平面SAB，进一步得到平面SAB⊥平面MAC；
（2）由$\overrightarrow{SM}=m\overrightarrow{MD}$，可得V_S-MAC=V_M-SAC=$\frac{m}{m+1}•{V}_{D-SAC}=\frac{m}{m+1}•{V}_{S-ADC}$，转化为三角形的面积比，可得m=2．

解答 （1）证明：在△ABC中，由于$AB=2，AC=4，BC=2\sqrt{5}$，∴AB²+AC²=BC²，故AB⊥AC，
又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，
又AC?平面MAC，
故平面SAB⊥平面MAC；
（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=$\sqrt{5}$，AC=4，
∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=2$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$．
又∵$\overrightarrow{SM}=m\overrightarrow{MD}$，
∴V_S-MAC=V_M-SAC=$\frac{m}{m+1}•{V}_{D-SAC}=\frac{m}{m+1}•{V}_{S-ADC}$，
∴$\frac{{V}_{S-ABC}}{{V}_{S-AMC}}=\frac{m+1}{m}•\frac{{V}_{S-ABC}}{{V}_{S-ACD}}$=$\frac{m+1}{m}•\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ACD}}=\frac{m+1}{m}•2=3$，
即m=2．
故m的值为2．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．