Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，左焦点为F，动直线x=m（|m|＜a）与E相交于P，Q两点，A₁P与A₂Q的交点M的轨迹落在双曲线

x2

2

-y2=1上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过F点的直线l与E相交A、B两点，与圆x²+y²=a²相交于C、D两点，求

|AB|

|CD|

的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意设M（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），由已知条件推导出M的轨迹M（x，y）的轨迹方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将AB：x=my-1代入椭圆方程得（m²+2）y²-2my-1=0，由此利用换元法和导数性质能求出

|AB|

|CD|

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意设M（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
则A1P：y=

y0

x0+a

(x+a)（1），A2Q：y=

-y0

x0-a

(x-a)（2），
将方程（1）（2）相乘得y2=-

y02

x02-a2

(x2-a2)…（3分）
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴y02=

b2

a2

(a2-x02)，
代入上式，得y2=

b2

a2

(x2-a2)，
∴M（x，y）的轨迹方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
又∵M的轨迹在双曲线

x2

2

-y2=1上，
∴所求的椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将AB：x=my-1代入椭圆方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
∴|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

2 m2+m2+2

m2+2

=2

2

m2+1

m2+2

．…（8分）
而|CD|=2

2- 1 1+m2

=2

2m2+1 m2+1

．
∴λ=

|AB|

|CD|

=

2

(m2+1)3 (m2+2)2(2m2+1)

．       …（9分）
令t=

1

m2+1

，t∈[0，1]（AB为x轴时，m不存在，
此时t=0，λ=

2

-t3+3t+2

．
∵函数f（x）=-x³+3x+2，
∴f′（x）=-3x²+3，
由f′（x）=-3x²+3＜0，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）=-x³+3x+2在[-1，1]上递减，
∴t=0，即m不存在时，λ_max=1，t=1，即m=0时，λmin=

2

2

．
∴

|AB|

|CD|

的取值范围是[

2

2

， 1]．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两条线段比值的取值范围的求法，解题时要注意导数性质的合理运用．