Question

12．等比数列{a_n}中，a_n=54．前n项和前2n项和分别为S_n=80，S_2n=6560．
（1）求首项a₁和公比q；
（2）若A₁=$\frac{π}{4}$，数列{A_n}满足A_n-A_n-1=a₁•$\frac{π}{6}$，（n≥2），设c_n=tanA_ntanA_n-1．求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，由a_n=54，S_n=80，S_2n=6560．可得：${a}_{1}{q}^{n-1}$=54，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=80，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=6560，可得qⁿ=81，解出即可得出．
（2）由A₁=$\frac{π}{4}$，数列{A_n}满足A_n-A_n-1=a₁•$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，（n≥2），可得A_n=$\frac{4n-1}{12}π$．由tan（A_n-A_n-1）=$\frac{tan{A}_{n}-tan{A}_{n-1}}{1+tan{A}_{n}tan{A}_{n-1}}$=tan$\frac{π}{3}$，可得c_n=tanA_ntanA_n-1=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（tanA_n-tanA_n-1）-1，利用“累加求和”即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，∵a_n=54，S_n=80，S_2n=6560．
∴${a}_{1}{q}^{n-1}$=54，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=80，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=6560，可得qⁿ=81，
解得a₁=2，q=3，n=4．
（2）∵A₁=$\frac{π}{4}$，数列{A_n}满足A_n-A_n-1=a₁•$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，（n≥2），
∴A_n=$\frac{π}{4}+（n-1）×\frac{π}{3}$=$\frac{4n-1}{12}π$．
∵tan（A_n-A_n-1）=$\frac{tan{A}_{n}-tan{A}_{n-1}}{1+tan{A}_{n}tan{A}_{n-1}}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴c_n=tanA_ntanA_n-1=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（tanA_n-tanA_n-1）-1，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[（tanA₂-tanA₁）+（tanA₃-tanA₂）+…+tan（A_n-A_n-1）]-n
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（tanA_n-tanA₁）-n
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$（tan\frac{4n-1}{12}π-1）$-n．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．