Question

3．求椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1在矩阵A=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$对应的变换作用下所得的曲线的方程．

Answer 1

分析 确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．

解答 解：设椭圆C上的点（x₁，y₁）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），
则$[{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&0\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}}][{\begin{array}{l}{x_1}\\{{y_1}}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x_1}}\\{\frac{1}{2}{y_1}}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$，…（5分）
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3x\\{y_1}=2y\end{array}\right.$代入椭圆方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得x²+y²=1，
所以所求曲线的方程为x²+y²=1．…（10分）

点评 本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．