Question

13．已知数列{a_n}的首项a₁=2，且满足a_n+1=2a_n+3•2ⁿ⁺¹，（n∈N^*）．
（1）设b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，证明数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义进行证明即可；
（2）利用（1）中求得的数据可以推知S_n、2S_n．利用错位相减法来求S_n．

解答 解：（1）∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{{{a_{n+1}}-2{a_n}}}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{{3•{2^{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}=3$，
∴数列{b_n}是以${b_1}=\frac{a_1}{2}=1$为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可知${b_n}=1+3（n-1）=3n-2；\;∴{a_n}=（3n-2）•{2^n}$，
∴${S_n}=1•2+4•{2^2}+7•{2^3}+…+（{3n-2}）•{2^n}$①
$2{S_n}=1•{2^2}+4•{2^3}+…+（{3n-5}）•{2^n}+（{3n-2}）•{2^{n+1}}$②
①-②得：
$\begin{array}{l}-{S_n}=2+3•{2^2}+3•{2^3}+…+3•{2^n}-（3n-2）•{2^{n+1}}\\=2+3•\frac{{{2^2}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（3n-2）•{2^{n+1}}=（5-3n）•{2^{n+1}}-10\end{array}$，
∴${S_n}=（3n-5）•{2^{n+1}}+10$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．