Question

7．已知函数f（x）=ax³+bx+12在x=2处取得极值为-4．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）因f（x）=ax³+bx+12，故f'（x）=3ax²+b．  
由于f（x）在点x=2处取得极值，
故有$\left\{{\begin{array}{l}{f'（2）=0}\\{f（2）=-4}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{8a+2b+12=-4}\end{array}}\right.$，）
化简得$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{4a+b=-8}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-12}\end{array}}\right.$
（2）由（1）知，f'（x）=3x²-12
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=2
当x∈（-3，-2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；
当x∈（-2，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上为减函数
当x∈（2，3）时f'（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数．
由此可知f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=28，f（x）在x=2处取得极小值f（2）=-4．
此时f（-3）=21，f（3）=3，
因此f（x）上[-3，3]的最大值为28．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．