Question

19．如图，四边形ABCD为矩形，PB=20，BC=30，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）当AB的长为多少时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AD，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAD，再由AB∥CD，能证明平面PCD⊥平面PAD．
（2）以A为原点，AP，AB，AD所以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AB的长为1时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵四边形为矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，且PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∴CD⊥平面PAD，
又因为CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（6分）
解：（2）如图，以A为原点，AP，AB，AD所以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设AB=a，则A（0，0，0），P（$\sqrt{4-{a}^{2}}$，0，0），B（0，a，0），C（0，a，3），D（0，0，3）
$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{4-{a}^{2}}$，a，3），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{4-{a}^{2}}$，0，3），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则由$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PD}$⊥$\overrightarrow{n}$得：
-$\sqrt{4-{a}^{2}}$•x+ay+3z=0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$x+3z=0
∴$\overrightarrow{n}$=（3，0，-$\sqrt{4-{a}^{2}}$）
平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
又面PAB与面PCD所成的二面角为锐二面角，面PAB与面PCD所成的二面角为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{4-{a}^{2}}}{\sqrt{13-{a}^{2}}}$，即：$\sqrt{13-{a}^{2}}$=2$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
解得a=1
∴当AB的长为1时，面PAB与面PCD所成的二面角为60°．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角为60°的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．