Question

17．已知函数f（x）=-x²+e^x-1（x≤1）与g（x）=ln（-x+a）的图象上存关于直线y=x-1对称的点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先求出g（x）的图象关于直线y=x-1对称的函数的函数y=-e^x-1+a-1，再将问题等价为方程a=-x²+2e^x-1+1（-∞，1]上有解．

解答 解：∵f（x）与g（x）的图象上存关于直线y=x-1对称的点，
∴f（x）的图象与g（x）关于直线y=x-1对称的图象有公共点，
而函数y=ln（-x+a）关于直线y=x-1对称的函数为：
x-1=ln[-（y+1）+a]，解得y=-e^x-1+a-1，
再联立方程，-x²+e^x-1=-e^x-1+a-1，
分离参数a得，a=-x²+2e^x-1+1（x≤1），-------（*）
问题转化为：方程（*）在区间（-∞，1]上有解，
记h（x）=-x²+2e^x-1+1（x≤1），
且h'（x）=2（e^x-1-x）≥0恒成立，所以函数h（x）单调递减，
因此，h（x）≤h（1）=2，
所以，实数a的取值范围为：（-∞，2]，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了对函数的图象和性质，以及方程有解问题的等价于转化，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．