Question

5．已知二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，且过点（2，7），g（x）=x+4且F（x）=f（2^x）+g（2^x+1）
（1）求F（x）的值域；
（2）是否对任意x∈R，都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立？若成立，求出m的范围；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，且过点（2，7），可得函数解析式，进而得到F（x）的解析式，利用换元法，结合二次函数的图象和性质，可得F（x）的值域；
（2）假设对任意x∈R，都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立，结合二次函数的图象和性质得到矛盾，可得假设不成立．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即ax²-bx+3=ax²+bx+3恒成立，
解得：b=0，
又由函数过点（2，7），故4a+3=7m
∴a=1，
∴f（x）=x²+3，
故F（x）=2^2x+2^x+1+7=（2x）²+2•2^x+7，
令2^x=t，则t＞0，故F（t）=t²+2t+7=（t+1）²+6，
当t＞0时F（t）＞7，
∴F（x）的值域是（7，+∞）．
（2）∵f（x）=x²+3＞0，
假设对任意x∈R，都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立，
∴mx+m+4＜f（x）即x²+3＞mx+m+4恒成立．
即x²-mx-m-1＞0恒成立，
即△=m²+4（m+1）＜0，
但与△≥0矛盾，
故假不成立．
即对任意x∈R，不都有$\frac{mx+m+4}{f（x）}＜1$成立．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．